走进不科学 第20章

　　虽然这个展开式对于小牛来说毫无难度，甚至可以算是二项式展开的基础操作。

　　但是，这还是头一次有人如此直观的将开方数用图形给表达出来！

　　更关键的是，杨辉三角第n行的m个数可表示为C(n－1，m－1)，即为从n－1个不同元素中取m－1个元素的组合数。

　　这对于小牛正在进行的二项式后续推导，无疑是个巨大的助力！

　　但是……

　　小牛的眉头又逐渐皱了起来：

　　杨辉三角的出现可以说给他打开了一个新思路，但对于他现在所卡顿的问题，也就是（P＋PQ）m/n的展开却并没有多大帮助。

　　因为杨辉三角涉及到的是系数问题，而小牛头疼的却是指数问题。

　　现在的小牛就像是一位骑行的老司机。

　　拐过一个山道时忽然发现前方百米过后一马平川，景色壮美，但面前十多米处却有一个巨大的落石堆挡路。

　　而就在小牛纠结之时，徐云又缓缓说了一句话：

　　“对了，牛顿先生，韩立爵士对于杨辉三角也有所研究。

　　后来他发现二项式的指数似乎并不一定需要是整数，分数甚至负数似乎也是可行的。”

　　“负数的论证方法他没有说明，但却留下了分数的论证方法。”

　　“他将其称为……”

　　“韩立展开！”

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第25章 韩·数学鬼才·立

　　屋子里，徐云正在侃侃而谈：

　　“牛顿先生，韩立爵士计算发现，二项式定理中指数为分数时，可以用e^x=1＋x＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！＋……来计算。”

　　说着徐云拿起笔，在纸上写下了一行字：

　　当n=0时，e^x＞1。

　　“牛顿先生，这里是从x^0开始的，用0作为起点讨论比较方便，您可以理解吧？”

　　小牛点了点头，示意自己明白。

　　随后徐云继续写道：

　　假设当n=k时结论成立，即e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！（x＞0）

　　则e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！]＞0

　　那么当n=k＋1时，令函数f(k＋1)=e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）

　　接着徐云在f(k＋1)上画了个圈，问道：

　　“牛顿先生，您对导数有了解么？”

　　小牛继续点了点头，言简意赅的蹦出两个字：

　　“了解。”

　　学过数学的朋友应该都知道。

　　导数和积分是微积分最重要的组成部分，而导数又是微分积分的基础。

　　眼下已经时值1665年末，小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。

　　在求导方面，小牛的介入点是瞬时速度。

　　速度=路程/时间，这是小学生都知道的公式，但瞬时速度怎么办？

　　比如说知道路程s=t^2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢？

　　数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。

　　于是牛顿想了一个很聪明的办法：

　　取一个”很短”的时间段△t，先算算t=2到t=2＋△t这个时间段内，平均速度是多少。

　　v=s/t=（4△t＋△t^2）/△t=4＋△t。

　　当△t越来越小，2＋△t就越来越接近2，时间段就越来越窄。

　　△t越来越接近0时，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。

　　如果△t小到了0，平均速度4＋△t就变成了瞬时速度4。

　　当然了。

　　后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题，也就是△t到底是不是0。

　　如果是0，那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人……咳咳，小学生也知道0不能做除数。

　　到如果不是0，4＋△t就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。

　　按照现代微积分的观念，贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。

　　这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问，用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学，真的合适吗？

　　贝克莱由此引发的一系列讨论，便是赫赫有名的第二次数学危机。

　　甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了，我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了，在奥地利还留有他们的遗像，某个扑街钓鱼佬曾经有幸参观过一次，跟七个小矮人似的，也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。

　　这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现，才会彻底有了解释与定论，并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。

　　但那是后来的事情，在小牛的这个年代，新生数学的实用性是放在首位的，因此严格化就相对被忽略了。

　　这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究，一边用得出来的结果对工具进行改良优化。

　　偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着，忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。

　　总而言之。

　　在如今这个时间点，小牛对于求导还是比较熟悉的，只不过还没有归纳出系统的理论而已。

　　徐云见状又写到：

　　对f(k＋1)求导，可得f(k＋1)'=e^x－1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！

　　由假设知f(k＋1)'＞0

　　那么当x=0时。

　　f(k＋1)=e^0－1－0/1！－0/2！－.－0/k＋1！=1－1=0

　　所以当x＞0时。

　　因为导数大于0，所以f(x)＞f(0)=0

　　所以当n=k＋1时f(k＋1)=e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）成立！

　　最后徐云写到：

　　综上所属，对任意的n有：

　　e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！（x＞0）

　　论述完毕，徐云放下钢笔，看向小牛。

　　只见此时此刻。

　　这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼，死死地盯着面前的这张草稿纸。

　　诚然。

　　以目前小牛的研究进度，还不太好理解切线与面积的真正内在含义。

　　但了解数学的人都知道，广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。

　　这个级数与二项式定理是兼容的，系数符号也是与组合符号兼容的。

　　所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂，组合定义也可以由自然数扩充至复数。

　　只不过徐云在这里留了一手，没有告知小牛n为负数的时候就是无穷级数这件事。

　　因为按照正常的历史线，无穷小量可是出自小牛之手，推导的过程还是交给他本人就好了。

　　就这样过了几分钟，小牛方才回过神。

　　只见他直接无视了身边的徐云，一个身位窜回座位，飞快的开始演算了起来。

　　看着全身心投入计算的小牛，徐云也不生气，毕竟这位祖师爷就是这种脾气，可能也就在威廉·艾斯库的面前会相对好点了。

　　沙沙沙——

　　很快。

　　笔尖与稿纸接触的声音响起，一道道公式被飞快列出。

　　徐云见状思索片刻，转身离开了屋子。

　　随意在墙角找了个位置，抬头看起了云卷云舒。

　　就这样，两个小时一转而过。

　　就在徐云盘算着自己下一步该如何落子的时候，木屋门忽然被人从中推开，小牛一脸激动的从内中窜了出来。

　　只见他的眼中布满了血丝，用力的朝徐云挥了挥手中的稿纸：

　　“肥鱼，负数、我推出了负数！一切都搞清楚了！

　　二项式指数不用去管它是正数还是负数，是整数还是分数，组合数对所有条件都成立！

　　杨辉三角，对，下一步就是研究杨辉三角！”

　　也不知道是不是太过激动的缘故，小牛压根没注意到，自己的假发都被震落到了地上。

　　看着满脸红光的小牛，徐云心中也不由浮现出了一丝改变历史的振奋感。

　　按照正常轨迹。

　　小牛要等到明年一月份收到一封约翰·提斯里波蒂的信件后，才会开窍般的攻克一系列的疑点难点。